<!DOCTYPE html>
<html lang="zh-cn">
<head>
    <title>环</title>
    <meta charset="utf-8" />
    <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/note.css" />
</head>
<body>

<h2>环</h2>

<ol class="definition">
	令 `R` 为一非空集, 称 `R := (R";" +, *)` 为一<b>环</b>, 如果
	<li>`(R, +)` 为一 Abel 群;</li>
	<li>`(R, *)` 为一半群;</li>
	<li>满足乘法对加法的左, 右分配律, 即
		<span class="formula">
			`a(b+c) -= a b + a c`, `quad (b+c)a = b a + c a`.
		</span>
	</li>
	加法群的单位元称为 `R` 的<b>零元</b>, 记为 `0`. 若乘法半群的左幺元
	(右幺元, 幺元) 存在, 则称其为 `R` 的左幺元 (右幺元, 幺元); `R`
	的幺元记为 `1`.
</ol>

<p class="remark">
	环的两种运算 (加法和乘法) 通过分配律相互影响, 牵制.
</p>

<ul class="definition">
	<li>称环 `R` 为一<b>交换环</b>, 如果 `(R, *)` 为一交换半群;</li>
	<li>称环 `R` 为一<b>幺环</b>, 如果 `(R, *)` 为一幺半群;
		由于幺半群非平凡 (即至少含两个元素), 所以幺环至少含两个元素.
	</li>
</ul>

<p class="remark">
	在些书本的定义中, 把幺环称为环 (ring), 把不含幺元的一般的环称为
	(rng).
</p>

<ol class="corollary">
	令 `R` 为一环, `a, b in R`, `n in ZZ`, 则
	<li>`0 a -= a 0 -= 0`; 即加法单位元是乘法的零元;</li>
	<li>`(n a)b -= a(n b) -= n(a b)`; 即整系数可穿越; 特别地,
		`(-a)b -= a(-b) -= -(a b)`;
		`(-a)(-b) -= a b`.
	</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>`AA a in R`, 由
		<span class="formula">
			`0 a = (0+0)a = 0 a + 0 a`
		</span>
		知 `0 a = 0`, 同理 `a 0 = 0`.
	</li>
	<li>`AA a, b in R`,
		`n = 0` 时, 结论显然成立. `n` 为一正整数时,
		<span class="formula">
			`(n a)b = overbrace(a+a+cdots+a)^n b`
			`= overbrace(a b+a b+cdots+a b)^n`
			`= n(a b)`.
		</span>
		同理 `a(n b) = n(a b)`.<br/>
		`n = -1` 时, 
		<span class="formula">
			`(-a) b + a b = (-a+a)b = 0`,
		</span>
		故 `(-a)b = -(a b)`. 同理 `a(-b) = -(a b)`.<br/>
		`n` 为一负整数时, 记 `m = -n`, 则
		<span class="formula">
			`(n a)b = (m(-1)a)b = m(-a)b = m(-(a b))`
			`= -m(a b) = n(a b)`.
		</span>
		同理 `a(n b) = n(a b)`.
	</li>
</ol>

<ol class="example">
	<li>全体整数 `ZZ` 关于整数的加法和乘法成一交换幺环.</li>
	<li>线性空间 `V` 上全体线性变换 `cc L(V)`
		关于线性变换的加法与合成成一幺环;
		平行地, 数域 `bbb F` 上 `n` 阶方阵的全体 `bbb F^(n xx n)`
		关于矩阵的通常加法与乘法成一环;
	</li>
	<li><b>一元多项式环</b> 数域 `bbb F` 上一元多项式全体 `bbb F[x]`
		关于多项式的加法与乘法成一交换幺环.
	</li>
	<li><b>模 `n` 的剩余类环</b> 令 `n in ZZ^+`, 定义 `ZZ` 上
		模 `n` 同余的等价关系
		<span class="formula">
			`a ~ b iff n | a-b`,
		</span>
		在此关系下的每个等价类称为模 `n` 的剩余类, 全体模 `n` 的剩余类为
		<span class="formula">
			`ZZ_n := {bar 0, bar 1, cdots, bar(n-1)}`.
		</span>
		定义 `ZZ_n` 上的加法与乘法为:
		<span class="formula">
			`bar a + bar b = bar(a+b)`,<br/>
			`bar a * bar b = bar(a b)`.
		</span>
		容易验证它们是良定义的, 且 `(ZZ_n";" +, *)` 为一环, 即<b>`ZZ` 模
		`bm n` 的剩余类环</b>.
	</li>
</ol>

<p class="definition">
	令 `(R";" +, *)` 为一环, `S` 是 `R` 的非空子集. 称 `S` 为 `R`
	的一个<b>子环</b>, 如果 `(S";" +, *)` 也成一环, 记为 `S le R`.
</p>

<p class="corollary">
	<b>子环的判定</b>
	令 `S` 为环 `R` 的一个非空子集, 则 `S le R` 当且仅当
	<span class="formula">
		`(AA a, b in S)` `a-b, a b in S`.
	</span>
	其中, `a-b in S` 保证了 `(S, +)` 是 `(R, +)` 子群,
	`a b in S` 保证了 `(S, *)` 是 `(R, *)` 子半群.
</p>

<p class="corollary">
	令 `R` 为一环, 则 `R` 的若干子环的交仍为 `R` 的子环.
</p>

<p class="example">
	子环一定含有原来的零元, 但幺元则未必.
	整数环 `ZZ` 有幺元, 而它的子环 `2ZZ` 没有幺元.<br/>
	数域 `bbb F` 上的矩阵环 `{(a,b;0,0)|a, b in bbb F}`
	无幺元,<br/>
	而它的子环 `{(a,0;0,0)| a in bbb F}` 有幺元
	`(1,0;0,0)`.<br/>
	整数环上的矩阵环 `{(a,b;c,d)| a, b, c, d in ZZ}` 有幺元
	`(1,0;0,1)`,<br/>
	它的子环 `{(a,a;0,0)| a in ZZ}`
	有幺元 `(1,1;0,0)`, 二者的幺元不同.
</p>

<p class="definition">
	令 `R, S` 为两个环, 称映射
	<span class="formula">
		`f: R to S`
	</span>
	为 `R` 到 `S` 的一个<b>环同态映射</b>, 如果
	<span class="formula">
		`f(a+b) -= f(a) + f(b)`,<br/>
		`f(a b) -= f(a) f(b)`.
	</span>
	若 `f` 为单射 (满射, 双射), 则称 `f` 为一单同态 (满同态, 同构) 映射.
	若 `f` 为一同构映射, 则称 `R` 与 `S` 同构, 记为 `R ~= S`.<br/>
	环同态映射 `f` 的核定义为
	<span class="formula">
		`"Ker"f := f^-1(bar 0) = {a in R| f(a) = bar 0}`,
	</span>
	其中 `bar 0` 是 `S` 的零元.
</p>

<p class="theorem">
	环的同态像 (原像) 仍为一环.
	令 `R, S` 为两个环, `R_1 le R`, `S_1 le S`.
	`f: R to S` 为一同态映射. 则
	<span class="formula">
		`f(R_1) le S`, `quad f^-1(S_1) le R`.
	</span>
	特别有 `"Im"f le S`, `"Im"f^-1 le R`, `"Ker"f le R`.
</p>

<p class="proof">
	`AA f(a), f(b) in f(R_1)`, 其中 `a, b in R_1`, 有
	<span class="formula">
		`f(a) - f(b) = f(a-b) in f(R_1)`,<br/>
		`f(a) f(b) = f(a b) in f(R_1)`.
	</span>
	因此 `f(R_1) le S`. 又 `AA c, d in f^-1(S_1)`, 则 `f(c), f(d) in S_1`,
	有
	<span class="formula">
		`f(c-d) = f(c) - f(d) in S_1`,<br/>
		`f(c d) = f(c) f(d) in S_1`.
	</span>
	因此 `c-d, c d in f^-1(S_1)`, 即 `f^-1(S_1) le R`.
</p>

<p class="theorem">
	类比于任一半群可扩张为一幺半群, 我们有:
	任一环可扩张为 (或嵌入到) 一幺环.
	令 `R` 为一环, 则存在一个幺环 `R_1`, 使得 `R` 同构于 `R_1` 的某一子环.
</p>

<p class="remark">
	Every rng is an ideal in some ring, and every ideal of a ring is a
	rng.
</p>
<!--
<p class="definition">
	令 `(G, +)` 为一 Abel 群. 定义 `End(G)` (`G` 上全体自同态映射)
	上的二元合成 `+`:
	<span class="formula">
		`(AA f, g in End(G))` `(AA a in G)` `(f+g)(a) = f(a) + g(a)`.
	</span>
	记 `@` 为变换的通常合成, 可以验证, `(End(G); +, @)` 为一幺环, 称为
	Abel 群 `G` 上的<b>自同态环</b>.
</p>

<p class="theorem">
	<b>环的 Cayley 左正则表示</b>
	令 `R` 为一幺环, 以 `a_l` 记元素 `a in R` 诱导的 (乘法) 左平移变换. 则
	<span class="formula">
		`eta: R to End(R, +)`<br/>
		`a to a_l`
	</span>
	为一单同态, 因此 `R ~= "Im"eta`.
</p>
-->

<h2>整环, 除环与域</h2>

<h3>无零因子环</h3>

<p class="definition">
	令 `R` 为一环, 如果存在 `a, b in R\\{0}`, 使得 `a b = 0`,
	则称 `a` 为 `R` 的一个左零因子, `b` 为 `R` 的一个右零因子.
	左零因子和右零因子统称为<b>零因子</b>.<br/>
	如果 `|R| ge 2`, 且无零因子, 则称 `R` 为一<b>无零因子环 (domain)</b>.
	按定义, 在无零因子环 `R` 中,
	<span class="formula">
		`(AA a, b in R\\{0})` `a b != 0`.
	</span>
</p>

<ol class="corollary">
	令 `(R";" +, *)` 为一环, 则下列各款等价:
	<li>`R` 为一无零因子环;</li>
	<li>`(R\\{0}, *)` 为一半群;</li>
	<li>`(AA a != 0, b, c in R)` `a b = a c rArr b = c`.</li>
	因此, 在以上条件下, `(R\\{0}, *)` 为一双消半群.
</ol>

<ol class="proof">
	<li>`iff` 3.
		`AA a != 0`, `b, c in R`, 若 `a b = a c`, 则
		<span class="formula">
			`a(b-c) = a b - a c = 0`,
		</span>
		但 `a != 0`, 由 `R` 无零因子知 `b-c = 0`, 即 `b = c`.
		反之设 3 成立, 则 `AA a, b in R\\{0}`, 有 `a b != 0`,
		否则由 `a b = 0 = a 0` 推出 `b = 0`, 矛盾.
	</li>
	<li>`iff` 1.
		在无零因子环中有
		<span class="formula">
			`(AA a, b in R\\{0})` `a b in R\\{0}`,
		</span>
		即 `(R\\{0}, *)` 满足封闭性; 又结合律显然成立, 所以 `(R\\{0}, *)`
		为一半群; 反之若它为一半群, 也能推出 `R` 无零因子.
	</li>
</ol>

<h3>整环, 除环与域</h3>

<ul class="definition">
	令 `(R";" +, *)` 为一环,
	<li>如果 `R` 为交换幺环, 且 `(R\\{0}, *)` 为一双消半群 (这一条等价于
		`R` 无零因子), 则称 `R` 为一<b>整环 (integral domain)</b>.
	</li>
	<li>如果 `(R\\{0}, *)` 为一群, 则称 `R` 为一<b>除环 (体, division
			ring)</b>.
	</li>
	<li>如果 `(R\\{0}, *)` 为一 Abel 群, 则称 `R` 为一<b>域 (field)</b>.
	</li>
	从定义看出, 域是除环, 也是整环; 整环, 除环和域都无零因子;
	整环, 除环和域都含有幺元, 因此它们都至少含两个元素.
</ul>

<p class="example">
	一元多项式环 `bbb F[x]` 和整数环 `ZZ` 都是整环; `n ge 2` 时,
	`n` 阶方阵环 `bbb F^(n xx n)` 为一含零因子环; 所有的数域都是域.
</p>

<p class="corollary" id="cor-finite-has-inv">
	由于有限双消半群为群, 所以有限无零因子环是除环, 有限整环是域.
</p>

<p class="theorem">
  [<a href="http://www.math.leidenuniv.nl/~hfinkeln/seminarium/eindige_delingsring_is_lichaam.pdf" target="_blank">T. H. Wedderburn, 1905</a>]
  有限除环是域.
</p>

<p class="corollary">
	<b>除环 (域) 的等价定义</b>
	令 `(R";" +, *)` 为一 (交换) 幺环, 且任意非零元都有乘法逆元, 即
	<span class="formula">
		`(AA a in R\\{0})` `(EE a^-1 in R)` `a a^-1 = a^-1 a = 1`.
	</span>
	则 `R` 为一除环 (域).
</p>

<p class="proof">
	只要再证它无零因子. 任取 `a, b in R` 满足 `a b = 0`. 设 `a != 0`,
	则 `a^-1` 存在, 于是
	<span class="formula">
		`a(a^-1 + b) = 1 + a b = 1 + 0 = 1`.
	</span>
	两边左乘 `a^-1` (或由逆元惟一) 得
	<span class="formula">
		`a^-1 + b = a^-1`,
	</span>
	从而 `b = 0`.
</p>

<p class="remark">
	关于域的更多知识, 我们在下一章介绍.
</p>

<p class="theorem">
	<b>除环的等价定义 (MyCoy)</b>
	令 `R` 为一环, `|R| ge 2`. 若在 `R\\{0}` 上方程 `a x = b` (`y a = b`)
	常有解, 即
	<span class="formula">
		`(AA a, b in RR\\{0})` `(EE x in RR\\{0})` `a x = b`,
	</span>
	则 `R` 为一除环.
</p>

<p class="proof">
	因为在 `R\\{0}` 上方程 `a x = b` 常有解, 所以 `AA a, b in R\\{0}`,
	<span class="formula">
		`(EE c, d in RR\\{0})` `a c = b`, `b d = c`.
	</span>
	从而
	<span class="formula">
		`(a b)d = a(b d) = a c = b != 0`.
	</span>
	因此 `a b != 0`. 所以 `R` 无零因子. 亦即 `(R\\{0}, *)` 为一双消半群.
	现在证明 `(R\\{0}, *)` 为一群. `AA a in R\\{0}`, 方程 `a x = a` 有解
	`e in R\\{0}`, 于是
	<span class="formula">
		`a e^2 = (a e)e = a e`,
	</span>
	两边消去 `a` 得 `e^2 = e`.  `AA b in RR\\{0}`,
	<span class="formula">
		`b e = b e^2`.
	</span>
	消去一个 `e` 得 `b = b e`. 于是, `(R\\{0}, *)` 中有右幺元 `e`.
	又显然方程 `a x = e` 的解就是 `a` 的右逆元, 所以 `(R\\{0}, *)` 为一群,
	`R` 为一除环.
</p>

<p class="example">
	<b>四元数除环</b>
	验证
	<span class="formula">
		`H = {(a,b;-bar b,bar a) | a, b in CC}` `sube CC^(2 xx 2)`
	</span>
	为一除环.
</p>

<p class="proof">
	容易验证 `H` 关于 `CC^(2 xx 2)` 的减法封闭. 又关于任意
	<span class="formula">
		`(a, b; -bar b, bar a)`, `(c, d; -bar d, bar c) in H`,
	</span>
	两矩阵的乘积
	<span class="formula">
		`(a c-b bar d, a d+b bar c; -bar(a d+b bar c), bar(a c-b bar d))
		in H`.
	</span>
	从而 `H le C^(2 xx 2)`.<br/>
	显然 `H` 含单位矩阵, 又关于任意
	<span class="formula">
		`(a, b; -bar b, bar a) in H\\{bm O}`,
	</span>
	其中 `a, b` 不全为零, 其行列式
	<span class="formula">
		`Delta = a bar a + b bar b = |a|^2 + |b|^2 gt 0`.
	</span>
	从而 `H\\{bm O}` 的矩阵都可逆,其逆矩阵为
	<span class="formula">
		`1/Delta (bar a, -b; bar b, a) in H`.
	</span>
	从而 `(H\\{bm O}, *)` 为一群. 由于 `H` 中元素一般不可交换,
	所以 `H` 为一除环, 但不是域. `H` 称为 <b>Hamilton 四元数除环</b>
</p>

<p class="remark">
	记 `a = x + "i"y`, `b = z + "i"w`, `x, y, z, w in RR`.
	则
	<span class="formula">
		`(a, b; -bar b, bar a)`
		`= x (1, 0; 0, 1)`
		`+ y ("i", 0; 0, -"i")`
		`+ z (0, 1; -1, 0)`
		`+ w (0, "i"; "i", 0)`
		`:= x * 1 + y * I + z * J + w * K`.
	</span>
	因此,
	<span class="formula">
		`H = {x + y I + z J + w K| x, y, z, w in RR}`.
	</span>
	易知 `I, J, K` 满足:
	<span class="formula">
		`I^2 = J^2 = K^2 = -1`,<br/>
		`I J = -J I = K`, `J K = -K J = I`, `K I = -I K = J`.
	</span>
</p>

<h2>环的特征</h2>

<p class="definition">
	令 `R` 为一环, 当 `R` 的元素在加群中的最大阶为一正整数 `n` 时,
	称 `n` 为 `R` 的<b>特征</b>, 记为 `"char"(R)`;
	若 `R` 的元素在加群的最大阶为 `oo`,
	则规定 `R` 的特征为 `0`.
</p>

<p class="corollary">
	令 `R` 为一环, `"char"(R) = n lt oo`. 则
	<a href="2.html#lem-abel-group-max-order">
		`R` 的任一元素在加群中的阶整除 `n`</a>.
	从而 `AA a in R`, `n a = 0`.
</p>

<p class="theorem">
	令 `R` 为一幺环, 若 `|1|` (在加群中的阶) 有限,
	则 `"char" R = |1|` (在加群中的阶).
</p>

<p class="proof">
	设 `|1| = n`, 则 `n 1 = 0`. `AA a in R`,
	<span class="formula">
		`n a = n(1 a) = (n 1) a = 0 a = 0`.
	</span>
	从而 `a` 在加群中的阶整除 `n`. 所以 `n` 是 `R` 中元素的最大阶, 即
	`"char"(R) = n`.
</p>

<p class="example">
	`"char"(ZZ) = "char"(bbb F[x]) = 0`.
	`"char"(ZZ_n) = n`.
</p>

<p class="theorem">
	无零因子环 `R` 的所有非零元在加群中的阶相同.
	因此, 要确定 `R` 的特征, 只需任取一非零元, 若它的阶为有限的 `n`,
	则 `"char"(R) = n`, 否则 `"char"(R) = 0`.
</p>

<p class="proof">
	若 `R` 的所有非零元在加群中的阶无限, 可认为它们的阶相同.
	若 `EE a in R\\{0}`, `|a| = m lt oo`, 则 `AA b in R\\{0}`,
	<span class="formula">
		`a(m b) = (m a)b = 0 b = 0`.
	</span>
	由 `R` 无零因子推出 `m b = 0`, 从而 `|b| lt oo`. 设 `|b| = n | m`.
	从而
	<span class="formula">
		`b(n a) = (n b)a = 0 a = 0`.
	</span>
	同样由 `R` 无零因子推出 `n a = 0`, 从而 `m | n`.
	所以 `m = n`.
</p>

<p class="theorem">
	无零因子环的特征或者是零, 或者是一素数.
</p>

<p class="proof">
	设无零因子环 `R` 的特征为 `n gt 0`,
	假设 `n = n_1 n_2`, 其中 `n_1, n_2 gt 1`.
  取 `R` 中的 `n` 阶元 `a`, 有
	<span class="formula">
		`n_1 a != 0`, `quad n_2 a != 0`,
	</span>
  但
	<span class="formula">
		`(n_1 a)(n_2 a) = n_1 n_2 a^2 = n a^2 = 0`,
	</span>
  这与 `R` 无零因子矛盾.
</p>

<h2>环的理想</h2>

<h3>环的理想</h3>

<p class="definition">
	设环 `I le R`, 称 `I` 为 `R` 的一个左理想 (右理想), 如果
	<span class="formula">
		`R I sube I` (`I R sube I`).
	</span>
	记为 `I normal_l R` (`I normal_r R`). 如果 `I` 同时是 `R` 的左,
	右理想, 则称 `I` 是 `R` 的<b>理想 (ideal)</b>, 记为 `I normal R`.
	`{0}` 和 `R` 是 `R` 的两个<b>平凡理想</b>.
	只有平凡理想的非平凡环称为<b>单环</b>.
</p>

<p class="corollary">
	<b>理想的判定条件</b>
	令 `R` 为一环, `I` 是 `R` 的非空子集. `I` 是 `R` 的左理想 (右理想)
	当且仅当 `AA a, b in I`, `AA r in R`,
	<span class="formula">
		`a - b, r a in I` (`a - b, a r in I`).
	</span>
	因此, `I` 是 `R` 的理想当且仅当
	<span class="formula">
		`(AA a, b in I)` `(AA r in R)` `a-b, r a, a r in I`
	</span>
</p>

<ol class="example">
	<li>令 `R` 为一环, `n in ZZ`, 则
		<span class="formula">
			`n R = {n a | a in R} normal R`.
		</span>
	</li>
	<li>`bbb F[x]` 中全体常数项为零的多项式构成 `bbb F[x]` 的一个理想.
	</li>
	<li>令 `m in ZZ`, 定义 `ZZ_m^(n xx n)` 为每个元素都被 `m` 整除的 `n`
		阶方阵的全体:
		<span class="formula">
			`ZZ_m^(n xx n) = {(a_(i j) in ZZ^(n xx n): m | a_(i j), i, j =
			1, 2, cdots, n}`.
		</span>
		则 `ZZ_m^(n xx n) normal ZZ^(n xx n)`.
	</li>
</ol>

<p class="example">
	数域 `bbb F` 上的 `n` 阶矩阵环为单环.
</p>

<p class="example">
	设 `R` 为交换幺环, `I normal R`, 则 `I^(n xx n) normal R^(n xx n)`,
	反之 `R^(n xx n)` 的任一理想可以写成 `I^(n xx n)` 的形式.
</p>

<p>	平行于正规子群的相关定理, 我们有:</p>

<p class="theorem">
	令 `R, S` 为两个环, `f: R to S` 为一环同态映射, 则
	<span class="formula">
		`I normal R rArr f(I) normal f(R)`,<br/>
		`J normal S rArr f^-1(J) normal f^-1(S) = R`.
	</span>
	特别 `"Im"f normal S`, `"Ker"f normal R`.
</p>

<ol class="theorem">
	令 `R` 为一环, `I, S` 是 `R` 的两个子环. 则
	<li>`I normal R` `rArr I nn S normal R nn S = S`;</li>
	<li>`I normal R and I le S le R` `rArr I normal S`.</li>
	<li>`I normal R or S normal R` `rArr I + S le R`;</li>
	<li>`I normal R and S normal R` `rArr I + S normal R`;</li>
	<li>`I normal R and S normal R` `rArr I nn S normal R`;</li>
</ol>

<h3>剩余类环</h3>

<p class="definition">
	令 `(R";"+,*)` 为一环, `I normal R`, 称
	<span class="formula">
		`r + I := {r + a | a in I} = I + r`
	</span>
	为 `R` 关于 `I` 的含 `r` 的<b>剩余类</b>. 又令
	<span class="formula">
		`R//I := {r + I | r in R}`,
	</span>
	定义 `R//I` 上二元合成如下:
	<span class="formula">
		`(r+I) + (s+I) -= (r+s) + I`,
		`quad (r+I) * (s+I) -= (r s) + I`.
	</span>
	可以验证 `+, *` 为 `R//I` 上的二元运算, 且 `(R//I";" +, *)` 为一环,
	称为 `R` 关于理想 `I` 的<b>剩余类环</b>.
</p>

<p class="example">
	`ZZ//n ZZ = ZZ_n`.
</p>

<h2>环的同态/同构定理</h2>

<p>	平行于群的相关定理, 我们有:</p>

<div class="collapse">

<p class="theorem">
	令 `f: R to S` 为一环满同态映射, 则集合
	<span class="formula">
		`{R_1| "Ker"f le R_1 le R}`,
		`{S_1| S_1 le S}`
	</span>
	之间存在一个双射. 即 `R` 中含 `"Ker"f` 的子环与 `S` 中的子环一一对应.
	由于理想在环同态映射下的像和原像也是理想, 将定理中的子环换成理想,
	结论也成立. 特别地, 设 `I normal R`, 取 `eta: r in R to r + I in R//I`
	为自然同态, 则 `"Ker"eta = I`. 由定理有: `R` 中含 `I` 的理想与
	`R//I` 的理想一一对应. 即任意 `bar J normal R//I`,
	`EE J normal R`, 使得 `bar J = J//I`.
</p>

<p class="theorem">
	<b>环同态基本定理</b>
	令 `f: R to S` 为一环同态映射, 则
	<span class="formula">
		`R//"Ker"f ~= "Im"R`.
	</span>
</p>

<p class="theorem">
	<b>环的第一同构定理</b>
	令 `f` 是环 `R` 上的同态映射, `I` 是 `R` 的含 `"Ker"f` 的理想, 则
	<span class="formula">
		`R//I ~= f(R)//f(I)`.
	</span>
</p>

<p class="theorem">
	<b>环的第二同构定理</b>
	令 `R` 为一环, `I normal R`, `S le R`, 则
	<span class="formula">
		`(S+I)//I ~= S//(S nn I)`.
	</span>
</p>
</div>

<h2>环的直积</h2>

<p>	平行于群的相关概念, 我们有: </p>

<div class="collapse">

<p class="definition">
	令 `R` 为一环, `R_1, R_2 normal R`. 若 `R = R_1 + R_2`, 且 `R`
	的任一元素表为 `R_1, R_2` 中元素之和的方式惟一, 则称 `R` 是 `R_1, R_2`
	的<b>内直积 (或内直和)</b>.
</p>

<ol class="corollary">
	<b>内直积的等价条件</b>
	设环 `R_1, R_2 normal R`, 且 `R = R_1 + R_2`. 则以下各款等价:
	<li>`R` 是 `R_1, R_2` 的内直积;</li>
	<li>`R` 中存在一元素, 表为 `R_1, R_2` 中元素之和的方式惟一;</li>
	<li>`R` 的零元表为 `R_1, R_2` 中元素之各的方式惟一, 即 `0 = 0 + 0`;
	</li>
	<li>`R_1 nn R_2 = {0}`.</li>
</ol>

<p class="definition">
	令 `R_1, R_2` 为两个环, 定义 `R_1 xx R_2` 上的二元合成 `+,*` 如下:
	<span class="formula">
		`(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)`,<br/>
		`(a,b) * (c,d) = (a c,b d)`.
	</span>
	可以验证 `(R_1 xx R_2";" +, *)` 成一环, 称其为环 `R_1, R_2` 的 <b>(外)
		直积</b>, 仍记为 `R_1 xx R_2`.<br/>
	`R_1 xx R_2` 的零元是 `(0, 0)`. 若 `R_1, R_2` 是幺环, 则 `R_1 xx R_2`
	是幺环, 幺元为 `(1, 1)`. 若 `R_1, R_2` 为交换环, 则 `R_1 xx R_2`
	也为交换环.
</p>

<ol class="theorem">
	设 `R_1, R_2` 为两个环, 定义
	<span class="formula">
		`bar R_1 := {(a,0)| a in R_1}`
		`quad bar R_2 := {(0,b)| b in R_2}`.
	</span>
	则
	<li>`R_1 ~= bar R_1`, `R_2 ~= bar R_2`;</li>
	<li>`R_1 xx R_2` 是 `bar R_1, bar R_2` 的内直积.</li>
</ol>

<p class="theorem">
	令环 `R` 是 `R_1, R_2` 的内直积, 则 `R ~= R_1 xx R_2`.
</p>

<p class="remark">
	有时对环的内, 外直积不加区分, 都称作直积, 记为 `R_1 xx R_2`.
	直积的概念容易推广到多个环的情形.
</p>
</div>

<h2>素理想与极大理想</h2>

<h3>生成的理想</h3>

<p class="definition">
	令 `R` 为一环, `I_1, I_2, cdots, I_n normal R`. 由归纳法易知
	<span class="formula">
		`nnn_(k=1)^n I_k normal R`,
		`quad sum_(k=1)^n I_k normal R`.
	</span>
	设 `M sube R`, 定义 `(:M:)` 为 `R` 的所有包含 `M` 的理想的交,
	称为由子集 `M` <b>生成的理想</b>. 显然 `(:M:)` 是 `R` 的包含 `M`
	的最小理想. 如果 `M` 为有限集, 则称 `(:M:)` 为一<b>有限生成理想</b>.
	当 `M = {x_1, x_2, cdots, x_n}` 时, `(:M:)` 简记为 `(:x_1, x_2, cdots,
	x_n:)`. 特别由单个元素 `a` 生成的理想 `(:a:)` 称为由 `a`
	生成的<b>主理想</b>. 主理想可以类比于循环群.
</p>

<p> 主理想的成分如何呢? 考虑到理想自身是一子环,
	且通过乘法吸收环上的任意元素, 我们有
	<span class="formula">
		`(:a:) = {n a + r a + a s + sum r_i a s_i |
		n in ZZ, r, s, r_i, s_i in R}`;
	</span>
	可以验证上述通式对环的加法与乘法封闭, 且通式中的每一项左乘 (右乘)
	环中的任意元素 `b`, 所得的结果仍是通式中的一项. 当 `R` 为幺环时,
	简化为
	<span class="formula">
		`(:a:) = {sum r_i a s_i | r_i, s_i in R}`;
	</span>
	当 `R` 为交换环时, 简化为
	<span class="formula">
		`(:a:) = {n a + r a| r in R, n in ZZ}`;
	</span>
	当 `R` 为交换幺环时, 简化为
	<span class="formula">
		`(:a:) = {r a | r in RR} = a R`.
	</span>
</p>

<p class="corollary">
	交换幺环 `R` 中, `(:1:) = 1 R = R`. 因此如果 `R` 的某个理想
	`I` 包含幺元 `1`, 则 `I = R`.
</p>

<p class="corollary">
	令 `R` 为一环, `X = {x_1, x_2, cdots, x_n} sube R`. 则
	<span class="formula">
		`(:X:) = sum_(i=1)^n (:x_i:)`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	左 `sube` 右: 因为理想的和还是理想, 所以等式右边是含 `X` 的一个理想,
	由定义, 等式左边是含 `X` 的最小理想, 故左边 `sube` 右边.<br/>
	右 `sube` 左: 对任意 `i in {1, 2, cdots, n}`, 有 `(:x_i:) sube (:X:)`.
	而由 `(:X:)` 为一理想知, 它对加法封闭, 所以右边 `sube` 左.
</p>

<p class="definition">
	<b>理想的乘积</b>
	设环 `A, B normal R`. 定义
	<span class="formula">
		`A B := {sum a b | a in A, b in B}`.
	</span>
</p>

<p class="corollary">
	环 `R` 可换时, `AA a, b in R`, `(:a:)(:b:) = (:a b:)`.
</p>

<p class="proof">
	左 `sube` 右: 由 `a` 生成的主理想为 `(:a:) = {n a + r a| r in R, n in
	ZZ}`. 将 `a`, `b` 生成的主理想的通式相乘, 有
	<span class="formula">
		`(n a + r a)(m b + s b)`
		`= (n m)a b + (n s)a b + (m r)a b + (r s)a b`.
	</span>
	显然符合 `(:a b:)` 中的通式.<br/>
	右 `sube` 左: 显然 `a b in (:a:)(:b:)`, 即 `(:a:)(:b:)` 为一含 `a b`
	的理想, 自然包含了含 `a b` 的最小理想 `(:a b:)`.
</p>

<p class="example">
	设 `ZZ[x]` 为整系数多项式环, 可以验证 `ZZ[x]` 为一整环,
	因此它是交换幺环.
	则 `(:x:) = x ZZ[x]`, 它是全体常数项为 `0` 的整系数多项式构成的理想.
	`(:2, x:) = (:2:) + (:x:)` 是全体常数项为偶数的整系数多项式构成的理想.
</p>

<h3>素理想</h3>

<p class="definition">
	令 `R` 为一环, 称 `P lhd R` (即 `P normal R`, 且 `P != R`) 为 `R`
	的一个<b>素理想</b>, 如果对任意 `A, B normal R`,
	<span class="formula">
		`A B sube P rArr A sube P or B sube P`.
	</span>
</p>

<p class="example">
	素理想可以类比于素数. 在 `ZZ` 中由素数 `p` 生成的理想 `(:p:)`
	是 `ZZ` 的一个素理想. 因为 `ZZ` 的每个理想都是主理想,
	设它的任意两个理想是 `(:m:), (:n:)`. 于是
	<span class="formula">
		`(:m:) (:n:) sube (:p:) rArr p | m n`
		`rArr p | m or p | n`
		`rArr (:m:) sube (:p:) or (:n:) sube (:p:)`.
	</span>
</p>

<p class="theorem">
	<b>素理想的判定</b>
	环 `P lhd R`, 是 `R` 的素理想的充分条件是
	<span class="formula">
		`(AA a, b in R)` `a b in P rArr a in P or b in P`.
	</span>
	当 `R` 可换时, 该条件是充分必要的.
</p>

<p class="proof">
	充分性. `AA A, B normal R`, 若 `A B sube P`, 且 `A !sube P`,
	则存在 `a in A`, `a !in P`. 从而 `AA b in B`, 由
	<span class="formula">
		`a b in A B sube P`
	</span>
	推知 `b in P`, 因此 `B sube P`. 于是 `P` 为 `R` 的一个素理想.<br/>
	必要性. `AA a, b in R`, 设 `a b in P`, 则由 `R` 可换知,
	<span class="formula">
		`(:a:)(:b:) = (:a:)(:b:) sube P`.
	</span>
	若 `a !in P`, 则 `(:a:) !sube P`, 从而
	<span class="formula">
		`b in (:b:) sube P`.
	</span>
</p>

<p class="example">
	`R` 不是交换环时, 上述定理的条件不是必要的.
	例如域 `bbb F` 上的 `n` 阶矩阵环为一单环, 它的惟一真理想 `(:0:)`
	是它的素理想, 而 `n ge 2` 时, `bbb F^(n xx n)` 有零因子,
	即 `a b in (:0:)`, 但 `a != 0`, `b != 0`.
</p>

<h3>极大理想</h3>

<p class="definition">
	称环 `M lhd R` 为 `R` 的一个<b>极大理想</b>, 如果对任意 `I normal
	R`,
	<span class="formula">
		`M sub I rArr I = R`,
	</span>
	即 `R` 中严格包含 `M` 的理想只有 `R` 本身.
</p>

<p class="example">
	若 `p` 为一素数, 则 `(:p:)` 为 `ZZ` 的素理想, 也为极大理想.
	反之, `ZZ` 的非平凡素理想 (极大理想) 可以由某个素数 `p` 生成.
</p>

<h3>交换幺环的素理想和极大理想</h3>

<ol class="lemma">
	在交换幺环 `R` 中,
	<li>零理想为一素理想当且仅当 `R` 为一整环;</li>
	<li>零理想为一极大理想当且仅当 `R` 为一域.</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>只需证零理想为一素理想当且仅当 `R` 无零因子.
		事实上由素理想的充要条件,
		<span class="formula">
			`{0}` 为一素理想
			`iff (AA a, b in R)` `a b in {0} rArr a in{0} or b in{0}`
			`iff (AA a, b in R)` `a b = 0 rArr a = 0 or b = 0`
			`iff R` 无零因子.
		</span>
	</li>
	<li>只需证 `R` 为一单环当且仅当 `R` 的任意非零元有乘法逆.<br/>
		"`lArr`":
		设 `I normal R`, `I != {0}`. 则 `I` 中存在非零元 `a`. 记 `a`
		的乘法逆为 `a^-1 in R`, 则
		<span class="formula">
			`1 = a^-1 a in I`.
		</span>
		因此 `I = R`, 即 `R` 为单环.<br/>
		"`rArr`": 任取非零元 `a in R`, 则
		`(:a:) normal R`, `(:a:) != {0}`. 因为 `R` 为单环,
		`(:a:) = R`, 从而
		<span class="formula">
			`1 in (:a:) = {r a | r in R}`.
		</span>
		即存在 `a^-1 in R`, `a^-1 a = 1`.
	</li>
</ol>

<ol class="theorem">
	在交换幺环 `R` 中, 若 `I normal R`, 则 `R//I` 也为交换幺环. 且
	<li>`P lhd R` 为一素理想当且仅当 `R//P` 为一整环;</li>
	<li>`M lhd P` 为一极大理想当且仅当 `R//M` 为一域.</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>只需证 `P` 为 `R` 的一素理想当且仅当 `{bar 0}` 为 `R//P`
		的一素理想.
		<span class="formula">
			`{bar 0}` 为 `R//P` 的一素理想
			`iff (AA bar a, bar b in R//P) bar a bar b in {bar 0}` 蕴含
			`bar a in {bar 0} or bar b in {bar 0}`
			`iff (AA bar a, bar b in R//P) bar(a b) = bar a bar b = bar 0`
			蕴含 `bar a = bar 0 or bar b = bar 0`
			`iff (AA a, b in R) a b in P`
			蕴含 `a in P or b in P`
			`iff P` 为 `R` 的一素理想
		</span>
	</li>
	<li>只需证 `M` 为 `R` 的一极大理想当且仅当 `{bar 0}` 为 `R//M`
		的一极大理想.
		<span class="formula">
			`M` 为 `R` 的一极大理想
			`iff (AA I normal R, M sub I)` `I = R`
			`iff (AA I normal R, M sub I)` `I//M = R//M`
			`iff (AA bar I normal R//M, bar I != {bar 0})`
			`bar I = R//M`
			`iff {bar 0}` 为 `R//M` 的一极大理想.
		</span>
	</li>
</ol>

<p class="corollary">
	交换幺环的极大理想是素理想.
</p>

<p class="theorem">
	令 `R, S` 是两个交换幺环, `f: R to S` 为一环满同态映射,
	`R` 的全体含 `"Ker"f"` 的素理想与 `S` 的全体素理想间存在双射,
	`R` 的全体含 `"Ker"f"` 的极大理想与 `S` 的全体极大理想间存在双射.
</p>

<h2>交换幺环上的多项式环</h2>

<p class="definition">
	设 `R, R'` 是两个交换幺环, `R le R'`, 且 `R` 的幺元就是 `R'` 的幺元.
	任取 `u in R'`, 称
	<span class="formula">
		`f(u) = sum_(k=0)^n a_k u^k`, `a_k in R`, `k = 0, 1, cdots, n`,
		`n` 为非负整数
	</span>
	为 `R` 上 `u` 的<b>多项式</b>, `a_k` 称为此多项式的系数.
	`R` 上的全体 `u` 的多项式记为 `R[u]`, 可以验证 `R[u] le R'`, 称为 `R`
	上添加 `u` 生成的子环.<br/>
	如果 `AA f(u) in R[u]`,
	<span class="formula">
		`f(u) = 0 iff f(u)` 的系数全为零,
	</span>
	换言之, 如果不存在以 `R` 中不全为零的元素为系数的多项式, 使得 `u`
	是此多项式的根,
	则称 `u` 为 `R` 上的<b>超越元 (或未定元)</b>, 否则称 `u` 为 `R`
	上的<b>代数元</b>.<br/>
	最后, 若 `x` 为 `R` 上的超越元, 则称 `R[x]` 为 `R`
	上的<b>一元多项式环</b>, `f(x) in R[x]` 称为 `R` 上的一元多项式.
	交换幺环 `R` 上关于超越元 `x` 的一个一元多项式可以惟一地写成
	<span class="formula">
		`f(x) = sum_(k=0)^n a_k x^k`, `a_k in R`, `k = 0, 1, cdots, n`
	</span>
	的形式 (不计系数为零的项). 规定 `0` 的次数为 `-oo`, 非零多项式的次数
	<span class="formula">
		`del f(x) = max{k| a_k != 0}`.
	</span>
</p>

<p class="example">
	`QQ` 中的数皆为 `ZZ` 上的代数元. `"i" in CC` 是 `ZZ` 上的代数元.
	`pi` 和 `"e"` 都是 `ZZ` 上的超越元.
</p>

<p class="example">
	<b>Gauss 整环</b> 定义为
	<span class="formula">
		`ZZ["i"] := ZZ + ZZ"i" = {m + n "i"| m, n in ZZ}`.
	</span>
	`AA m + n"i" in ZZ["i"]`, 有
	<span class="formula">
		`(m+n"i")^2 - 2m(m+n"i") + m^2 +n^2 = 0`,
	</span>
	从而 `m + n"i"` 为 `ZZ` 上的代数元.
</p>

<p class="theorem">
	交换幺环上的一元多项式环一定存在.
</p>

<ol class="proof">
	构造性证明.
	<li>令
		<span class="formula">
			`R' := {(a_0, a_1, cdots ) | a_k in R, k = 0, 1, cdots,`
			仅有有限个 `a_k` 不为零`}`.
		</span>
		且
		<span class="formula">
			`(a_0, a_1, cdots) = (b_0, b_1, cdots)`
			`iff a_k = b_k`, `k = 0, 1, cdots`.
		</span>
		定义 `R'` 上二元合成 `+, *`:
		<span class="formula">
			`(a_0, a_1, cdots) + (b_0, b_1, cdots) = (a_0+b_0, a_1+b_1,
			cdots)`,<br/>
			`(a_0, a_1, cdots) * (b_0, b_1, cdots) = (c_0, c_1, cdots)`,
		</span>
		其中 `c_n = sum_(i+j=n) a_i b_j`, `n = 0, 1, cdots`.
		可以验证 `+, *` 为 `R'` 上的二元运算, 且 `(R'";" +, *)`
		为一交换幺环, 零元和幺元分别为 `(0, 0, cdots, 0, cdots)` 和 `(1,
		0, cdots, 0, cdots)`.
	</li>
	<li>令 `R_0 = {(a_0, 0, cdots, 0, cdots) | a_0 in R}`, 则 `R_0 le R'`,
		`(1, 0, cdots, 0, cdots) in R_0`, 且 `R ~= R_0`. 故
		在同构意义下 `R le R'`. 下证 `R'` 为 `R` 上的一元多项式环.
		令 `x = (0, 1, 0, cdots, 0, cdots)`, 则
		<span class="formula">
			`x^k = (overbrace(0, cdots, 0)^k, 1, 0, cdots)`,<br/>
			`a_k x^k = (overbrace(0, cdots, 0)^k, a^k, 0, cdots)`,
			`a_k in R`.
		</span>
		`AA f = (a_0, a_1, cdots) in R'`, 存在非负整数 `n`,
		<span class="formula">
			`a_n = a_(n+1) = cdots = 0`,
		</span>
		从而
		<span class="formula">
			`f = (a_0, a_1, cdots, a_(n-1), 0, cdots)`
			`= a_0 + a_1 x + cdots + a_(n-1) x^(n-1) in R[x]`.
		</span>
		即 `R' sube R[x]`, 又显然 `R[x] sube R'`, 于是 `R' = R[x]`. 若
		<span class="formula">
			`sum_(k=0)^n a_k x^k = 0`,
		</span>
		即
		<span class="formula">
			`(a_0, a_1, cdots, a_n, 0, cdots) = (0, 0, cdots)`.
		</span>
		则 `a_0 = a_1 = a_2 = cdots = a_n = 0`, 从而 `x` 为 `R`
		上的超越元, 于是 `R[x]` 为 `R` 上的一元多项式环.
	</li>
</ol>

<p class="theorem">
	<b>带余除法</b>
	令 `R` 为一交换幺环, `f(x), g(x) in R[x]`, `g(x) != 0`, 且 `g(x)`
	的首项系数有乘法逆元. 则存在惟一的 `q(x), r(x) in R[x]`, 使得
	<span class="formula">
		`f(x) = q(x) g(x) + r(x)`, `quad del r(x) lt del g(x)`.
	</span>
	`q(x)`, `r(x)` 分别称为 `g(x)` 除 `f(x)` 的商式和余式.
</p>

<p class="theorem">
	令 `R` 为一整环, 则 `R[x]` 也为一整环.
</p>

<p class="proof">
	容易验证 `R[x]` 为一交换幺环, 且 `R[x]` 的幺元就是 `R` 的幺元.
	因此只需证明 `R[x]` 无零因子. 令
	<span class="formula">
		`f(x) = sum_(k=0)^m a_k x^k`, `g(x) = sum_(k=0)^n a_k x^k in
		R[x]`, `a_m, b_n != 0`.
	</span>
	则
	<span class="formula">
		`f(x) g(x) = a_m b_n x^(m+n) + cdots + (a_0 b_1 + a_1 b_0) x + a_0
		b_0`.
	</span>
	由 `R` 为一整环知 `a_m b_n != 0`, 从而 `f(x) g(x) != 0`.
</p>

<p class="corollary">
	由上述定理的证明知, 整环 `R` 上的一元多项式环有如下次数公式:
	<span class="formula">
		`del [f(x)g(x)] -= del f(x) + del g(x)`.
	</span>
	在一般的交换幺环中这不一定成立.
</p>

<h2>整环的因子分解理论</h2>

<p class="theorem">
	`ZZ` 和 `bbb F[x]` 的每个理想都是主理想, 即都可以由某一元素生成.
</p>

主理想整环: principal ideal domain
唯一因子分解整环: unique factorization domain

<script src="../../js/note.js?type=math"></script>
</body>
</html>
